Xét mở rộng trường E/F, α là một phần tử của E, và F[x] là vành đa thức của x trên F. Phần tử α có đa thức tối tiểu khi α đại số trên F, tức là f(α) = 0 với một đa thức f khác 0 trong F[x]. Khi ấy đa thức tối tiểu của α được định nghĩa là đa thức monic có bậc nhỏ nhất trong số các đa thức trong F[x] nhận α làm nghiệm.

Tính duy nhất

Giả sử p(x) là đa thức tối tiểu của α đối với E/F. Tính duy nhất của p(x) được chứng minh bằng cách xét đồng cấu vành subα từ F[x] đến E thay α cho x, tức là subα(f(x)) = f(α). Hạt nhân của subα, ker(subα), là tập hợp tất cả đa thức thuộc F[x] nhận α làm nghiệm. Nói cách khác, ker(subα) = Jα. Do subα là một đồng cấu vành, ker(subα) là một ideal của F[x]. Do F là một trường nên F[x] là vành chính, suy ra có ít nhất một đa thức thuộc ker(subα) sinh ra ker(subα). Đa thức như thế sẽ có bậc nhỏ nhất trong tất cả đa thức khác không trong ker(subα), và p(x) được chọn là đa thức monic duy nhất trong các đa thức này.

Một chứng minh khác như sau. Giả sử p và q đều là đa thức monic trong Jα với bậc nhỏ nhất n > 0. Do p − q ∈ Jα và deg(p − q) < n, ta phải có p − q = 0, hay p = q.